Prépa, 1re année › Polynômes › Degré d'une somme, d'un produit

Degré d'une somme, d'un produit : énoncé (MPSI)

Propriété

Degré d'une somme, d'un produit

Pour $P,Q\in\mathbb{K}[X]$ et $\lambda\in\mathbb{K}^*$ :

$\deg(P+Q)\leq\max(\deg P,\deg Q)$, avec égalité si $\deg P\neq\deg Q$ ;
$\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$, et le coefficient dominant de $PQ$ est le produit des coefficients dominants ;
$\deg(\lambda P)=\deg P$.

Démonstration : Degré d'une somme, d'un produit

Démonstration

Degré d'un produit

Si $P=0$ ou $Q=0$, alors $PQ=0$ et les deux membres valent $-\infty$. Sinon, notons $n=\deg P$, $p=\deg Q$, $P=\sum a_kX^k$, $Q=\sum b_kX^k$. Le coefficient de $X^m$ dans $PQ$ est $c_m=\sum_{k=0}^{m}a_kb_{m-k}$.

Si $m>n+p$, dans chaque terme on a $k>n$ ou $m-k>p$ (sinon $m=k+(m-k)\leq n+p$), donc $a_kb_{m-k}=0$ et $c_m=0$.

Pour $m=n+p$, le seul terme éventuellement non nul est celui où $k=n$ et $m-k=p$ : $c_{n+p}=a_nb_p\neq 0$ car $\mathbb{K}$ est un corps. Donc $\deg(PQ)=n+p$ et le coefficient dominant est $a_nb_p$.

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Polynômes : Degré d'une somme, d'un produit