Soit $n\geq 2$ et $\omega=e^{2i\pi/n}$.
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Montrer que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}X^k=\prod_{k=1}^{n-1}(X-\omega^k)$.
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En déduire que $\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(1-\omega^k)=n$.
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Montrer que $|1-e^{i\theta}|=2\left|\sin\frac\theta2\right|$ pour tout $\theta\in\mathbb{R}$, puis que $$\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}.$$
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Soient $a_1,\dots,a_m\in\mathbb{C}$ et $P=\prod_{k=1}^{m}(X-a_k)$. Montrer que $P'=\sum_{k=1}^m\prod_{j\neq k}(X-a_j)$, puis que pour tout $x\in\mathbb{C}$ qui n'est pas racine de $P$ : $$\frac{P'(x)}{P(x)}=\sum_{k=1}^m\frac{1}{x-a_k}.$$
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En déduire la valeur de $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2-\omega^k}$.
Écrire $X^n-1$ de deux façons et simplifier par $X-1$.
Pour le module, factoriser $1-e^{i\theta}$ par $e^{i\theta/2}$ (technique de l'angle moitié).
Pour la question 4, raisonner par récurrence sur $m$ avec $(PQ)'=P'Q+PQ'$. Pour la question 5, appliquer la question 4 à $X^n-1$.
1. D'une part $X^n-1=(X-1)\sum_{k=0}^{n-1}X^k$. D'autre part $X^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(X-\omega^k)=(X-1)\prod_{k=1}^{n-1}(X-\omega^k)$ car $\omega^0=1$. Comme $X-1\neq 0$ et $\mathbb{C}[X]$ est intègre, on simplifie par $X-1$ : $$\sum_{k=0}^{n-1}X^k=\prod_{k=1}^{n-1}(X-\omega^k).$$
2. En évaluant en $1$ : $\prod_{k=1}^{n-1}(1-\omega^k)=\sum_{k=0}^{n-1}1=n$.
3. Pour $\theta\in\mathbb{R}$ : $$1-e^{i\theta}=e^{i\theta/2}\big(e^{-i\theta/2}-e^{i\theta/2}\big)=-2i\sin\frac\theta2\,e^{i\theta/2},$$ donc $|1-e^{i\theta}|=2\left|\sin\frac\theta2\right|$. Avec $\theta=\frac{2k\pi}{n}$ et $1\leq k\leq n-1$, on a $\frac{k\pi}{n}\in\,]0,\pi[$, donc $\sin\frac{k\pi}{n}>0$ et $|1-\omega^k|=2\sin\frac{k\pi}{n}$. En prenant le module dans la question 2 : $$n=\prod_{k=1}^{n-1}2\sin\frac{k\pi}{n}=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n},\qquad\text{d'où}\qquad \prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}.$$
4. Récurrence sur $m$. Pour $m=1$, $P=X-a_1$ et $P'=1$, qui est le produit vide. Supposons la formule vraie pour $P_m=\prod_{k=1}^m(X-a_k)$ et posons $P_{m+1}=P_m(X-a_{m+1})$. Alors $$P_{m+1}'=P_m'(X-a_{m+1})+P_m=\sum_{k=1}^{m}\Big(\prod_{\substack{j\leq m\\ j\neq k}}(X-a_j)\Big)(X-a_{m+1})+\prod_{j=1}^{m}(X-a_j)=\sum_{k=1}^{m+1}\prod_{\substack{j\leq m+1\\ j\neq k}}(X-a_j).$$ Si $P(x)\neq 0$, tous les $x-a_j$ sont non nuls et $\dfrac{\prod_{j\neq k}(x-a_j)}{\prod_{j}(x-a_j)}=\dfrac{1}{x-a_k}$. En divisant par $P(x)$, on obtient la formule annoncée.
5. On applique la question 4 à $P=X^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(X-\omega^k)$, avec $P'=nX^{n-1}$ et $x=2$, qui n'est pas racine car $2^n\neq 1$ : $$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2-\omega^k}=\frac{n2^{n-1}}{2^n-1}.$$ Contrôle pour $n=2$ ($\omega=-1$) : $\frac11+\frac13=\frac43$ et $\frac{2\times 2}{3}=\frac43$.
$\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$ ; $\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{2-\omega^k}=\frac{n2^{n-1}}{2^n-1}$