Polynôme à coefficients dans K : définition (MPSI)

Un polynôme à coefficients dans $\mathbb{K}$ est une suite $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ d'éléments de $\mathbb{K}$ nulle à partir d'un certain rang. On note $X$ le polynôme $(0,1,0,0,\dots)$ et, si $a_k=0$ pour $k>n$ : $$P=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k .$$ Les $a_k$ sont les coefficients de $P$. Deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coefficients (principe d'identification). L'ensemble des polynômes est noté $\mathbb{K}[X]$.

Pour $P=\sum a_kX^k$, $Q=\sum b_kX^k$ et $\lambda\in\mathbb{K}$ : $$P+Q=\sum_{k}(a_k+b_k)X^k,\qquad \lambda P=\sum_k \lambda a_kX^k,\qquad PQ=\sum_{n}\Big(\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}\Big)X^n .$$