Exercice corrigé : Indépendance mutuelle et indicatrice d'Euler (type Mines-Ponts)

Soit $n\geqslant2$ un entier. On munit $\Omega=\{1,\dots,n\}$ de la probabilité uniforme $P$. Pour tout diviseur positif $d$ de $n$, on note $A_d=\{k\in\Omega : d\mid k\}$. On note $\varphi(n)$ le nombre d'entiers $k\in\Omega$ premiers avec $n$.

1. Soit $d$ un diviseur positif de $n$. Montrer que $P(A_d)=\frac1d$.
2. Soient $d$ et $d'$ deux diviseurs positifs de $n$, premiers entre eux. Montrer que $dd'$ divise $n$, que $A_d\cap A_{d'}=A_{dd'}$, et en déduire que $A_d$ et $A_{d'}$ sont indépendants.
3. On suppose que $4$ divise $n$. Les événements $A_2$ et $A_4$ sont-ils indépendants ?
4. Soient $p_1,\dots,p_r$ les nombres premiers deux à deux distincts qui divisent $n$. Montrer que les événements $A_{p_1},\dots,A_{p_r}$ sont mutuellement indépendants.
5. En déduire que $$\varphi(n)=n\prod_{i=1}^r\left(1-\frac{1}{p_i}\right).$$
6. Calculer $\varphi(360)$ et la probabilité qu'un entier choisi au hasard dans $\{1,\dots,360\}$ soit premier avec $360$.