Probabilité définie par une distribution : énoncé (MPSI)

Unicité. Soit $P$ une probabilité vérifiant $P(\{\omega\})=p_\omega$. Tout événement $A$ est la réunion disjointe finie des singletons $\{\omega\}$, $\omega\in A$. Par la propriété 5, $P(A)=\sum_{\omega\in A}P(\{\omega\})=\sum_{\omega\in A}p_\omega$. La valeur de $P(A)$ est donc imposée.

Existence. On pose $P(A)=\sum_{\omega\in A}p_\omega$ (avec $P(\emptyset)=0$, somme vide).

• Les $p_\omega$ sont positifs, donc $0\leqslant P(A)\leqslant\sum_{\omega\in\Omega}p_\omega=1$ : $P$ est à valeurs dans $[0,1]$.
• $P(\Omega)=\sum_{\omega\in\Omega}p_\omega=1$.
• Si $A\cap B=\emptyset$, une somme indexée par $A\cup B$ se coupe en une somme sur $A$ et une somme sur $B$ : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

Enfin $P(\{\omega\})=p_\omega$ par construction.