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Prépa, 1re année › Séries numériques › Comparaison par domination, négligeabilité, équivalence

Comparaison par domination, négligeabilité, équivalence : énoncé (MPSI)

Théorème

Comparaison par domination, négligeabilité, équivalence

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ réelles, avec $v_n\ge0$ à partir d'un certain rang.

  1. Si $u_n\ge0$ à partir d'un certain rang, $u_n=O(v_n)$ et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge. C'est en particulier le cas si $u_n=o(v_n)$.
  2. Si $u_n\sim v_n$, alors $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.
Démonstration : Comparaison par domination, négligeabilité, équivalence
Démonstration

Preuve

  1. Si $u_n=O(v_n)$, il existe $M>0$ et un rang $n_0$ tels que, pour $n\ge n_0$, $0\le u_n\le Mv_n$. La série $\sum Mv_n$ converge par linéarité, donc $\sum u_n$ converge par comparaison. Comme $u_n=o(v_n)$ entraîne $u_n=O(v_n)$, le cas $o$ est inclus.

  2. Si $u_n\sim v_n$, on écrit $u_n=v_n w_n$ avec $w_n\to1$. Il existe un rang $n_1$ à partir duquel $\frac12\le w_n\le\frac32$ et $v_n\ge0$, donc $$0\le\frac12v_n\le u_n\le\frac32v_n.$$ Si $\sum v_n$ converge, l'inégalité de droite donne la convergence de $\sum u_n$. Si $\sum u_n$ converge, celle de gauche donne $0\le v_n\le 2u_n$ et la convergence de $\sum v_n$. Les deux séries ont donc même nature.

Attention

Hypothèse de signe

Le critère des équivalents exige que $v_n$ (donc $u_n$) soit de signe constant à partir d'un rang. Sans cette hypothèse il est faux : on verra que $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge alors que $\sum\left(\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac1n\right)$ diverge, bien que les deux termes généraux soient équivalents.

Exemple

Utilisation des équivalents

On admet provisoirement que $\sum\frac1{n^2}$ converge et que $\sum\frac1n$ diverge (preuve dans la section suivante).

  • $u_n=\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\ge0$ et $u_n\sim\frac1{n^2}$ : $\sum u_n$ converge.
  • $u_n=1-\cos\frac1n\ge0$ et $u_n\sim\frac{1}{2n^2}$ : $\sum u_n$ converge.
  • $u_n=\frac{n+1}{n^3+2}>0$ et $u_n\sim\frac{n}{n^3}=\frac1{n^2}$ : $\sum u_n$ converge.
  • $u_n=\sin\frac1n>0$ pour $n\ge1$ et $u_n\sim\frac1n$ : $\sum u_n$ diverge.
  • $u_n=e^{-\sqrt n}>0$ : par croissances comparées, $n^2e^{-\sqrt n}=(\sqrt n)^4e^{-\sqrt n}\to0$, donc $u_n=o\left(\frac1{n^2}\right)$ et $\sum u_n$ converge.

S’entraîner

Dans le cours

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