Comparaison par inégalité : énoncé (MPSI)
Comparaison par inégalité
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles telles que $0\le u_n\le v_n$ à partir d'un rang $n_0$. Alors :
- si $\sum v_n$ converge, $\sum u_n$ converge ;
- si $\sum u_n$ diverge, $\sum v_n$ diverge.
Si l'inégalité a lieu pour tout $n\in\mathbb N$ et que les deux séries convergent, $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n\le\sum_{n=0}^{+\infty}v_n$.
Démonstration : Comparaison par inégalité
Preuve
Supposons $\sum v_n$ convergente. Pour $n\ge n_0$, $$\sum_{k=n_0}^{n}u_k\le\sum_{k=n_0}^{n}v_k\le\sum_{k=n_0}^{+\infty}v_k,$$ la dernière inégalité venant de la positivité des $v_k$. Les sommes partielles de $\sum_{n\ge n_0}u_n$ sont donc majorées ; comme $u_k\ge0$ pour $k\ge n_0$, cette série converge, et $\sum u_n$ aussi (on n'a retiré qu'un nombre fini de termes). La seconde assertion est la contraposée de la première. L'inégalité entre sommes s'obtient par passage à la limite dans $S_n(u)\le S_n(v)$.
S’entraîner
- Comparaison à $\frac{1}{n^\alpha}$ sans équivalent simple
- Reste d'une série par comparaison série-intégrale
- Équivalents de sommes partielles divergentes
- Développement asymptotique du reste de $\sum\frac1{k^2}$ (type CCINP)