Prépa, 1re année › Séries numériques › Étudier la nature d'une série à termes positifs

Étudier la nature d'une série à termes positifs : méthode (MPSI)

Méthode

Étudier la nature d'une série à termes positifs

Vérifier que $u_n\to0$ ; sinon, divergence grossière et c'est terminé.
Chercher un équivalent simple de $u_n$ (développements limités, termes prépondérants) et le comparer à une série de référence : géométrique ou de Riemann.
Si aucun équivalent simple n'apparaît, comparer $u_n$ à $\frac1{n^\alpha}$ en étudiant la limite de $n^\alpha u_n$ :
- si $n^\alpha u_n\to0$ pour un $\alpha>1$, alors $u_n=o\left(\frac1{n^\alpha}\right)$ et la série converge ;
- si $nu_n\to+\infty$, alors $u_n\ge\frac1n$ à partir d'un rang et la série diverge.
Si le terme général est de la forme $f(n)$ avec $f$ monotone, penser à la comparaison série-intégrale.

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