Déterminer la nature des séries de terme général suivant ($n\ge2$).
- $a_n=\frac{\ln n}{n^2}$
- $b_n=\frac{1}{(\ln n)^2}$
- $c_n=\frac{1}{n^{\ln n}}$
- $d_n=\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$
Pour 1, choisir $\alpha$ strictement compris entre $1$ et $2$.
Pour 3 et 4, écrire les puissances sous forme exponentielle.
Pour 4, montrer que $(\ln n)^{\ln n}=n^{\ln(\ln n)}$ et comparer l'exposant à $2$.
Tous les termes sont strictement positifs pour $n\ge2$.
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$n^{3/2}a_n=\frac{\ln n}{\sqrt n}\to0$ par croissances comparées. Donc $a_n=o\left(\frac1{n^{3/2}}\right)$ et, comme $\frac32>1$, $\sum a_n$ converge.
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$nb_n=\frac{n}{(\ln n)^2}\to+\infty$ par croissances comparées. Il existe donc un rang à partir duquel $nb_n\ge1$, soit $b_n\ge\frac1n$. La série harmonique diverge, donc $\sum b_n$ diverge.
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$n^{\ln n}=e^{(\ln n)^2}$, donc $n^2c_n=e^{2\ln n-(\ln n)^2}=e^{\ln n\,(2-\ln n)}$. L'exposant tend vers $-\infty$, donc $n^2c_n\to0$ et $c_n=o\left(\frac1{n^2}\right)$ : $\sum c_n$ converge.
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$(\ln n)^{\ln n}=e^{\ln n\cdot\ln(\ln n)}=n^{\ln(\ln n)}$. Pour $n\ge e^{e^2}$, on a $\ln n\ge e^2$, donc $\ln(\ln n)\ge2$ et $n^{\ln(\ln n)}\ge n^2$ (car $n\ge1$). Ainsi $0<d_n\le\frac1{n^2}$ à partir de ce rang, et $\sum d_n$ converge par comparaison.
1 converge ; 2 diverge ; 3 converge ; 4 converge