Somme partielle majorée : énoncé (MPSI)
Somme partielle majorée
Soit $\sum u_n$ une série à termes réels positifs. Alors $(S_n)$ est croissante, et :
- $\sum u_n$ converge si et seulement si $(S_n)$ est majorée ;
- sinon $S_n\to+\infty$.
Pour une série convergente à termes positifs, on a de plus $S_n\le\sum_{k=0}^{+\infty}u_k$ pour tout $n$.
Démonstration : Somme partielle majorée
Preuve
Pour tout $n$, $S_{n+1}-S_n=u_{n+1}\ge0$, donc $(S_n)$ est croissante. Par le théorème de la limite monotone, une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée, et tend vers $+\infty$ sinon. Enfin, une suite croissante convergente est majorée par sa limite.
Une seule alternative
Pour une série à termes positifs, il n'y a que deux cas : convergence, ou divergence vers $+\infty$. On note parfois $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=+\infty$ dans le second cas. Le résultat reste valable si les termes sont positifs seulement à partir d'un certain rang, ou tous négatifs (on étudie alors $\sum(-u_n)$).
S’entraîner
- Trois sommes géométriques
- Deux sommes par télescopage
- Convergence absolue
- Manipuler des développements décimaux
- Équivalents de sommes partielles divergentes