Comparaison série-intégrale (cas croissant)Équivalent d'une somme partielleCritère des équivalents
- Montrer que $\sum_{k=1}^{n}\sqrt k\sim\frac23n^{3/2}$.
- Montrer que $\ln(n!)\sim n\ln n$.
- En déduire la nature de $\sum_{n\ge2}\frac{1}{\ln(n!)}$.
Indice 1
Les fonctions $t\mapsto\sqrt t$ et $\ln$ sont croissantes : les inégalités de comparaison sont inversées par rapport au cas décroissant.
Indice 2
Pour 2, écrire $\ln(n!)=\sum_{k=2}^{n}\ln k$ et utiliser la primitive $t\mapsto t\ln t-t$.
Indice 3
Pour 3, comparer à une série étudiée dans le cours.
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