Conséquences immédiates : énoncé (MPSI)
Conséquences immédiates
Pour $n\in\mathbb{N}$ :
- Avec $a=b=1$ : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n$.
- Avec $a=-1$, $b=1$ et $n\geqslant1$ : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k} = 0$.
- Avec $b=1$ : $\displaystyle(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k$ pour tout $x\in\mathbb{C}$.
- Avec $-b$ à la place de $b$ : $\displaystyle(a-b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^{n-k}a^k b^{n-k}$.
Développements
Avec la ligne $n=5$ du triangle de Pascal : $$(1+x)^5 = 1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5.$$ Avec la ligne $n=4$ et $b=-2$ : $$(x-2)^4 = \sum_{k=0}^{4}\binom4k x^k(-2)^{4-k} = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16.$$ Les signes alternent, et les puissances de $2$ multiplient les coefficients : $4\times2 = 8$, $6\times4 = 24$, $4\times8 = 32$. Vérification en $x=1$ : $(1-2)^4 = 1$ et $1-8+24-32+16 = 1$.
Sommes de coefficients binomiaux
Exemple 1. $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}2^k = \sum_{k=0}^{n}\binom nk 2^k 1^{n-k} = (2+1)^n = 3^n$.
Exemple 2. Calculons $S = \sum_{k=0}^{n} k\binom{n}{k}$ pour $n\geqslant1$.
Par absorption. Le terme $k=0$ est nul, donc $$S = \sum_{k=1}^{n} n\binom{n-1}{k-1} = n\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j} = n\,2^{n-1}.$$ Par symétrie. Le changement d'indice $j = n-k$ et $\binom{n}{n-j} = \binom nj$ donnent $S = \sum_{j=0}^{n}(n-j)\binom nj$. En additionnant : $2S = n\sum_{k=0}^{n}\binom nk = n\,2^n$, d'où $S = n\,2^{n-1}$.
Vérification pour $n=2$ : $0 + 1\times2 + 2\times 1 = 4 = 2\times 2$.