Terminale › Fonction logarithme népérien › Conséquences immédiates
Conséquences immédiates : énoncé (Terminale spé)
Propriété
Conséquences immédiates
- Pour tout réel $x>0$ : $e^{\ln x}=x$.
- Pour tout réel $x$ : $\ln(e^x)=x$.
- $\ln 1=0$ car $e^0=1$.
- $\ln e=1$ car $e^1=e$.
Valeurs à connaître : $e\approx 2{,}718$ et $\ln 2\approx 0{,}693$.
Exemple
Calculs directs
- $\ln(e^3)=3$ et $\ln(e^{-2})=-2$.
- $e^{\ln 7}=7$.
- $e^{2\ln 3}=\left(e^{\ln 3}\right)^2=3^2=9$.
- L'équation $e^x=5$ a pour unique solution $x=\ln 5\approx1{,}609$.
- L'équation $e^x=-2$ n'a pas de solution, car une exponentielle est toujours strictement positive.
Remarque
Courbes symétriques
Dans un repère orthonormé, la courbe de $\ln$ est la symétrique de la courbe de $\exp$ par rapport à la droite d'équation $y=x$. Le point $(0\,;1)$ de la courbe de $\exp$ correspond au point $(1\,;0)$ de la courbe de $\ln$.
Attention
Le domaine avant tout
$\ln x$ n'existe que pour $x>0$. Les écritures $\ln 0$ ou $\ln(-3)$ n'ont aucun sens. Toute expression contenant $\ln(\dots)$ impose que ce qui est entre parenthèses soit strictement positif.