Formule du binôme : énoncé (MPSI)
Formule du binôme
Pour tous $a,b\in\mathbb{C}$ et tout $n\in\mathbb{N}$ : $$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^k b^{n-k}.$$ Avec la convention $z^0 = 1$ pour tout $z\in\mathbb{C}$, y compris $z=0$. Par symétrie des coefficients, on a aussi $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$.
Démonstration : Formule du binôme
Preuve par récurrence
Fixons $a,b\in\mathbb{C}$. Notons $\mathcal{P}(n)$ la formule au rang $n$.
Initialisation. Pour $n=0$ : $(a+b)^0 = 1$ et $\binom00 a^0b^0 = 1$.
Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie. Alors $$(a+b)^{n+1} = (a+b)\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{k+1} b^{n-k} + \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{k} b^{n+1-k}.$$ Dans la première somme, on pose $j=k+1$ : $$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{k+1} b^{n-k} = \sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{j-1} a^{j} b^{n+1-j}.$$ On peut étendre les deux sommes à $j\in[\![0,n+1]\!]$ : les termes ajoutés font intervenir $\binom{n}{-1} = 0$ et $\binom{n}{n+1}=0$. Donc $$(a+b)^{n+1} = \sum_{j=0}^{n+1}\left[\binom{n}{j-1}+\binom{n}{j}\right] a^j b^{n+1-j} = \sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j} a^j b^{n+1-j}$$ par la relation de Pascal. C'est $\mathcal{P}(n+1)$.
Conclusion. La formule est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
S’entraîner
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