Prépa, 1re année › Sommes et produits › Calculer une somme comportant des coefficients binomiaux
Calculer une somme comportant des coefficients binomiaux : méthode (MPSI)
Méthode
Calculer une somme comportant des coefficients binomiaux
- Chercher à reconnaître un développement $\sum\binom nk a^k b^{n-k}$ : identifier $a$, $b$ et vérifier que les exposants de $a$ et $b$ ont pour somme $n$.
- Si un facteur $k$ gêne, utiliser l'absorption $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$, puis translater l'indice.
- Si la somme est « symétrique », essayer le changement d'indice $j=n-k$ et additionner les deux écritures.
- Vérifier les bornes : un terme nul (souvent $k=0$) peut être retiré ou ajouté librement.
Remarque
Cadre de validité
La preuve n'utilise que les règles de calcul de l'addition et de la multiplication, et en particulier la commutativité $ab=ba$ (pour regrouper $a^k b^{n-k}$). La formule s'étendra donc aux éléments d'un anneau qui commutent, par exemple à deux matrices carrées $A$ et $B$ telles que $AB=BA$. Cela sera vu dans les chapitres d'algèbre.
Attention
Erreur classique
$(a+b)^n\neq a^n+b^n$ dès que $n\geqslant2$ (sauf cas particuliers). Par exemple $(1+1)^2 = 4$ et $1^2+1^2 = 2$. Les termes croisés pondérés par les coefficients binomiaux ne disparaissent pas.
S’entraîner
- Sommes usuelles par linéarité
- Changements d'indice
- Produits simples
- Télescopages directs
- Coefficients binomiaux et développements
Dans le cours
Sommes et produits : Calculer une somme comportant des coefficients binomiaux