- Soit $f:(\mathbb R,+)\to(\mathbb C^*,\times)$, $t\mapsto e^{(1+i)t}$. Montrer que $f$ est un morphisme, déterminer $\mathrm{Ker}\,f$. Le morphisme $f$ est-il injectif ? surjectif ?
- Soit $g:(\mathbb Z,+)\to(\mathbb C^*,\times)$, $k\mapsto i^k$. Montrer que $g$ est un morphisme, puis déterminer $\mathrm{Ker}\,g$ et $\mathrm{Im}\,g$.
Le neutre de $(\mathbb C^*,\times)$ est $1$, pas $0$.
Pour $f$, calculer le module de $f(t)$.
Pour $g$, écrire la division euclidienne $k=4q+r$.
- Pour $s,t\in\mathbb R$, $f(s+t)=e^{(1+i)s+(1+i)t}=e^{(1+i)s}e^{(1+i)t}=f(s)f(t)$ : $f$ est un morphisme de groupes.
On a $f(t)=e^te^{it}$, donc $|f(t)|=e^t$. Si $f(t)=1$, alors $e^t=1$, donc $t=0$. Réciproquement $f(0)=1$. Ainsi $\mathrm{Ker}\,f=\{0\}$ et $f$ est injectif.
$f$ n'est pas surjectif : si $f(t)=-1$, alors $e^t=|-1|=1$, donc $t=0$ et $f(0)=1\neq-1$. Donc $-1\notin\mathrm{Im}\,f$.
- Pour $k,l\in\mathbb Z$, $g(k+l)=i^{k+l}=i^ki^l=g(k)g(l)$ par les règles sur les puissances dans le groupe $\mathbb C^*$ : $g$ est un morphisme.
Soit $k\in\mathbb Z$, et $k=4q+r$ sa division euclidienne par $4$, avec $0\leq r\leq3$. Comme $i^4=1$, $i^k=(i^4)^qi^r=i^r$, qui vaut $1$, $i$, $-1$ ou $-i$ selon que $r=0,1,2,3$.
- $g(k)=1\iff r=0\iff k\in4\mathbb Z$. Donc $\mathrm{Ker}\,g=4\mathbb Z$.
- $\mathrm{Im}\,g=\{1,i,-1,-i\}=\mathbb U_4$.
$g$ n'est ni injectif ($g(4)=g(0)$) ni surjectif sur $\mathbb C^*$.
$\mathrm{Ker}\,f=\{0\}$, $f$ injectif non surjectif ; $\mathrm{Ker}\,g=4\mathbb Z$, $\mathrm{Im}\,g=\mathbb U_4$