Prépa, 1re année › Suites réelles : convergence › Étudier la monotonie d'une suite
Étudier la monotonie d'une suite : méthode (MPSI)
Méthode
Étudier la monotonie d'une suite
- Méthode générale : on étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$.
- Si tous les termes sont strictement positifs, on peut comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ : la suite est croissante si ce quotient est $\ge1$, décroissante s'il est $\le1$. Utile en présence de produits, de puissances ou de factorielles.
- Si $u_n=f(n)$ avec $f$ monotone sur $[0,+\infty[$, la suite a la même monotonie que $f$.
- Si la suite est définie par récurrence, on raisonne souvent par récurrence (voir la dernière section).
Exemple
Une suite définie par des factorielles
Soit $u_n=\frac{n!}{n^n}$ pour $n\ge1$. Les termes sont strictement positifs et $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}=\frac{(n+1)\,n^n}{(n+1)^{n+1}}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n<1.$$ La suite $(u_n)$ est donc strictement décroissante. Elle est minorée par $0$ et majorée par $u_1=1$ : elle est bornée.
S’entraîner
- Prouver une divergence avec des suites extraites
- Un produit infini par la limite monotone
- Suite récurrente, fonction croissante, discussion selon u0
- Suite récurrente, fonction décroissante
- Trois suites extraites qui se recouvrent
Dans le cours
Suites réelles : convergence : Étudier la monotonie d'une suite