Exercice corrigé : Suite récurrente, fonction croissante, discussion selon u0

1. Pour $x\in\mathbb R$ : $$f(x)-x=\frac{x^2-4x+3}4=\frac{(x-1)(x-3)}4.$$ Les points fixes sont $1$ et $3$. Sur $[0,+\infty[$, $f(x)-x\ge0$ sur $[0,1]$, $f(x)-x\le0$ sur $[1,3]$, $f(x)-x>0$ sur $]3,+\infty[$. De plus, $f$ est continue et croissante sur $[0,+\infty[$.

2. $f(0)=\frac34$ et $f(1)=1$, donc par croissance $f([0,1])=\left[\frac34,1\right]\subset[0,1]$ : $[0,1]$ est stable et $u_n\in[0,1]$ pour tout $n$. Comme $f(x)-x\ge0$ sur $[0,1]$, la suite est croissante. Elle est majorée par $1$ : elle converge vers $\ell$, et $\ell\in[0,1]$ par passage à la limite. $f$ est continue en $\ell$, donc $f(\ell)=\ell$, soit $\ell\in\{1,3\}\cap[0,1]$. Donc $u_n\to1$.

3. $f([1,3])=[f(1),f(3)]=[1,3]$ : $[1,3]$ est stable et $u_n\in[1,3]$. Comme $f(x)-x\le0$ sur $[1,3]$, la suite est décroissante, minorée par $1$ : elle converge vers $\ell\in[1,3]$. La suite décroît, donc $\ell\le u_0<3$. Comme $f(\ell)=\ell$, on obtient $\ell=1$.

4. Si $x\ge3$, alors $f(x)\ge f(3)=3$ : $[3,+\infty[$ est stable et $u_n\ge3$. Comme $f(x)-x\ge0$ sur cet intervalle, la suite est croissante, donc $u_n\ge u_0>3$. Si elle convergeait vers $\ell$, on aurait $\ell\ge u_0>3$ et, par continuité de $f$, $f(\ell)=\ell$, donc $\ell\in\{1,3\}$ : impossible. La suite est croissante et ne converge pas : par le théorème de la limite monotone, $u_n\to+\infty$.

5. Si $u_0=3$, la suite est constante égale à $3$. En résumé : $u_n\to1$ si $0\le u_0<3$, $u_n=3$ pour tout $n$ si $u_0=3$, $u_n\to+\infty$ si $u_0>3$.

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