Pour $n\ge1$, on pose $P_n=\prod_{k=1}^n\left(1+\frac1{2^k}\right)$. On admet l'inégalité $\ln(1+x)\le x$ pour tout $x>-1$.
- Montrer que $(P_n)$ est strictement croissante.
- Montrer que $P_n<e$ pour tout $n\ge1$.
- En déduire que $(P_n)$ converge vers un réel $\ell$ tel que $\frac{135}{64}\le\ell\le e$.
Les termes sont strictement positifs : comparer $\frac{P_{n+1}}{P_n}$ à $1$.
Le logarithme transforme le produit en somme ; reconnaître ensuite une somme géométrique.
La limite d'une suite croissante est la borne supérieure de ses termes : elle majore chaque $P_n$.
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Chaque facteur $1+\frac1{2^k}$ est strictement positif, donc $P_n>0$. Pour $n\ge1$ : $$\frac{P_{n+1}}{P_n}=1+\frac1{2^{n+1}}>1.$$ Comme $P_n>0$, on obtient $P_{n+1}>P_n$ : la suite est strictement croissante.
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En appliquant $\ln(1+x)\le x$ à $x=\frac1{2^k}$ : $$\ln P_n=\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac1{2^k}\right)\le\sum_{k=1}^n\frac1{2^k}=\frac12\cdot\frac{1-\left(\frac12\right)^n}{1-\frac12}=1-\frac1{2^n}<1.$$ L'exponentielle étant strictement croissante, $P_n<e$.
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La suite $(P_n)$ est croissante et majorée par $e$. D'après le théorème de la limite monotone, elle converge vers $\ell=\sup\{P_n,\ n\ge1\}$.
- Comme $P_n<e$ pour tout $n$, le passage à la limite donne $\ell\le e$ (l'inégalité devient large).
- Comme $\ell$ majore tous les termes, $\ell\ge P_3=\frac32\cdot\frac54\cdot\frac98=\frac{135}{64}$.
Donc $\frac{135}{64}\le\ell\le e$, soit environ $2{,}109\le\ell\le2{,}719$. Le théorème prouve la convergence sans donner la valeur de $\ell$.
$(P_n)$ converge vers $\ell\in\left[\frac{135}{64},e\right]$