Prépa, 1re année › Suites réelles : convergence › Caractérisation des suites bornées
Caractérisation des suites bornées : énoncé (MPSI)
Propriété
Caractérisation des suites bornées
Une suite $(u_n)$ est bornée si et seulement s'il existe $K\ge0$ tel que $$\forall n\in\mathbb N,\quad |u_n|\le K.$$
Démonstration : Caractérisation des suites bornées
Démonstration
Preuve
Si $m\le u_n\le M$ pour tout $n$, on pose $K=\max(|m|,|M|)$. Alors $-K\le-|m|\le m\le u_n\le M\le|M|\le K$, donc $|u_n|\le K$.
Réciproquement, $|u_n|\le K$ équivaut à $-K\le u_n\le K$ : la suite est minorée par $-K$ et majorée par $K$.
S’entraîner
- Lever des formes indéterminées
- Trois encadrements
- Prouver une divergence avec des suites extraites
- Suites adjacentes et somme alternée
- Suite récurrente, fonction décroissante
Dans le cours
Suites réelles : convergence : Caractérisation des suites bornées