Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, définies pour $n\ge1$.
- $a_n=\frac{3n^2-n+4}{2n^2+1}$
- $b_n=\sqrt{n^2+3n}-n$
- $c_n=\frac{2^n+n^3}{3^n}$
- $d_n=\left(1+\frac2n\right)^n$
Repérer d'abord la forme indéterminée de chaque expression.
Pour $b_n$ : quantité conjuguée, puis factoriser par $n$ sous la racine.
Pour $c_n$ : séparer en deux fractions et utiliser $\frac{n^\alpha}{q^n}\to0$ pour $q>1$.
Pour $d_n$ : écrire $d_n=\exp\left(n\ln\left(1+\frac2n\right)\right)$ et faire apparaître un taux d'accroissement de $\ln$ en $1$.
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Forme $\frac\infty\infty$. On factorise par $n^2$ : $$a_n=\frac{3-\frac1n+\frac4{n^2}}{2+\frac1{n^2}}\to\frac32.$$
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Forme $+\infty-\infty$. Avec la quantité conjuguée : $$b_n=\frac{(n^2+3n)-n^2}{\sqrt{n^2+3n}+n}=\frac{3n}{n\left(\sqrt{1+\frac3n}+1\right)}=\frac3{\sqrt{1+\frac3n}+1}.$$ Comme $1+\frac3n\to1$ et que la racine carrée est continue en $1$, le dénominateur tend vers $2$. Donc $b_n\to\frac32$.
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On écrit $c_n=\left(\frac23\right)^n+\frac{n^3}{3^n}$. Comme $0<\frac23<1$, $\left(\frac23\right)^n\to0$. Par croissances comparées ($\alpha=3$, $q=3>1$), $\frac{n^3}{3^n}\to0$. Donc $c_n\to0$.
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Forme $1^\infty$. Pour $n\ge1$, $1+\frac2n>0$ et $d_n=\exp\left(n\ln\left(1+\frac2n\right)\right)$. On pose $h_n=\frac2n$ : $h_n\to0$ et $h_n\neq0$, et $$n\ln\left(1+\frac2n\right)=2\cdot\frac{\ln(1+h_n)}{h_n}.$$ On sait que $\frac{\ln(1+h)}{h}\to\ln'(1)=1$ quand $h\to0$ (taux d'accroissement de $\ln$ en $1$). L'exposant tend donc vers $2$ et, par continuité de l'exponentielle en $2$, $d_n\to e^2$. La réponse $1$ serait l'erreur classique sur la forme $1^\infty$.
$\frac32$ ; $\frac32$ ; $0$ ; $e^2$