Montrer que deux suites sont adjacentesUtiliser le théorème des rangs pairs et impairsObtenir une valeur approchée avec contrôle de l'erreur
Pour $n\ge1$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}k$, puis $a_n=S_{2n}$ et $b_n=S_{2n-1}$.
- Calculer $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$.
- Montrer que $(a_n)_{n\ge1}$ et $(b_n)_{n\ge1}$ sont adjacentes.
- En déduire que $(S_n)$ converge vers un réel $\ell$, et encadrer $\ell$ à l'aide de $S_3$ et $S_4$.
- Déterminer le plus petit entier $n$ tel que l'encadrement $a_n\le\ell\le b_n$ ait une amplitude au plus $10^{-3}$.
Indice 1
$a_{n+1}-a_n$ et $b_{n+1}-b_n$ ne contiennent chacun que deux termes de la somme.
Indice 2
$b_n-a_n$ se réduit à un seul terme.
Indice 3
Pour conclure sur $(S_n)$, exprimer $S_{2n}$ et $S_{2n+1}$ à l'aide de $(a_n)$ et $(b_n)$.
Corrigé
-
$S_1=1$, $S_2=1-\frac12=\frac12$, $S_3=\frac12+\frac13=\frac56$, $S_4=\frac56-\frac14=\frac7{12}$.
-
Pour $n\ge1$ :
- $a_{n+1}-a_n=S_{2n+2}-S_{2n}=\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}>0$ : $(a_n)$ est croissante.
- $b_{n+1}-b_n=S_{2n+1}-S_{2n-1}=-\frac1{2n}+\frac1{2n+1}<0$ : $(b_n)$ est décroissante.
- $a_n=S_{2n}=S_{2n-1}+\frac{(-1)^{2n+1}}{2n}=b_n-\frac1{2n}$, donc $b_n-a_n=\frac1{2n}\to0$.
Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes.
- Par le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers une même limite $\ell$ et $a_n\le\ell\le b_n$ pour tout $n\ge1$. Ainsi $S_{2n}=a_n\to\ell$ et $S_{2n+1}=b_{n+1}\to\ell$. Les suites des rangs pairs et impairs ont la même limite, donc $S_n\to\ell$.
Avec $n=2$ : $a_2=S_4$ et $b_2=S_3$, d'où $\frac7{12}\le\ell\le\frac56$.
- L'amplitude vaut $b_n-a_n=\frac1{2n}$, et $\frac1{2n}\le10^{-3}\iff n\ge500$. Le plus petit entier convenable est $n=500$. La convergence est lente.
On montrera plus tard que $\ell=\ln2\approx0{,}693$ ; ce calcul sort du cadre de ce chapitre.
Résultat :
$\frac7{12}\le\ell\le\frac56$ ; $n=500$