Caractérisation séquentielle de la densité : énoncé (MPSI)
Caractérisation séquentielle de la densité
Une partie $D$ de $\mathbb R$ est dense dans $\mathbb R$ si et seulement si tout réel $x$ est limite d'une suite d'éléments de $D$.
Démonstration : Caractérisation séquentielle de la densité
Preuve
Sens direct. Soit $x\in\mathbb R$. Pour tout $n$, l'intervalle $\left]x-\frac1{n+1},x+\frac1{n+1}\right[$ contient un élément $d_n$ de $D$. Alors $|d_n-x|<\frac1{n+1}$, donc $d_n\to x$.
Réciproque. Soient $a<b$, $x=\frac{a+b}2$ et $(d_n)$ une suite d'éléments de $D$ qui converge vers $x$. Avec $\varepsilon=\frac{b-a}4$, il existe $N$ tel que $|d_N-x|\le\frac{b-a}4<\frac{b-a}2$. Donc $d_N\in]a,b[$.
Densité de Q et des irrationnels
Soit $x\in\mathbb R$ et $r_n=\frac{\lfloor10^nx\rfloor}{10^n}\in\mathbb Q$. Par définition de la partie entière, $10^nx-1<\lfloor10^nx\rfloor\le10^nx$, donc $$x-10^{-n}<r_n\le x.$$ Par encadrement, $r_n\to x$ : $\mathbb Q$ est dense dans $\mathbb R$.
Posons ensuite $s_n=r_n+\frac{\sqrt2}{n+1}$. Si $s_n$ était rationnel, $\sqrt2=(n+1)(s_n-r_n)$ le serait aussi : $s_n$ est irrationnel. Comme $s_n\to x$, l'ensemble $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ est dense dans $\mathbb R$.
S’entraîner
- Bornes supérieure et inférieure par des suites
- Densité des dyadiques et équation fonctionnelle
- Suites sous-additives, lemme de Fekete (type Mines-Ponts)
Dans le cours
Suites réelles : convergence : Caractérisation séquentielle de la densité