Prépa, 1re année › Suites réelles : convergence › Déterminer une borne supérieure
Déterminer une borne supérieure : méthode (MPSI)
Méthode
Déterminer une borne supérieure
- Deviner la valeur $M$ (en testant des éléments de $A$, en étudiant une fonction).
- Montrer que $M$ majore $A$ : pour tout $a\in A$, $a\le M$.
- Exhiber une suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ telle que $a_n\to M$.
- Pour savoir si la borne est atteinte (c'est-à-dire si $M$ est un maximum), examiner si $M\in A$.
Corollaire utile : si $A$ est non vide majorée et si une suite d'éléments de $A$ converge vers $\ell$, alors $\ell\le\sup A$ (passage à la limite).
Exemple
Bornes d'un ensemble défini par deux paramètres
Soit $A=\left\{\frac1n-\frac1p,\ n,p\in\mathbb N^*\right\}$.
- Majorant. Pour $n,p\ge1$, $\frac1n-\frac1p<\frac1n\le1$. Donc $1$ majore $A$.
- Suite. Avec $n=1$, $a_p=1-\frac1p\in A$ et $a_p\to1$.
Donc $\sup A=1$. Ce n'est pas un maximum, car l'inégalité $\frac1n-\frac1p<1$ est stricte. Par symétrie ($n$ et $p$ échangent leurs rôles), $-1$ minore $A$ et $\frac1n-1\to-1$ avec $\frac1n-1\in A$ : $\inf A=-1$, non atteint.
S’entraîner
- Revenir à la définition de la limite
- Lever des formes indéterminées
- Trois encadrements
- Suites adjacentes et somme alternée
- Suite récurrente, fonction croissante, discussion selon u0
Dans le cours
Suites réelles : convergence : Déterminer une borne supérieure