Exercice corrigé : Suites sous-additives, lemme de Fekete (type Mines-Ponts)

Soit $(u_n)_{n\ge1}$ une suite de réels positifs ou nuls, sous-additive : $\forall m,n\in\mathbb N^*,\ u_{m+n}\le u_m+u_n$.

1. Justifier l'existence de $\ell=\inf\left\{\frac{u_n}n,\ n\in\mathbb N^*\right\}$.
2. Montrer que $u_{kp}\le ku_p$ pour tous $k,p\in\mathbb N^*$.
3. On fixe $p\in\mathbb N^*$ et on pose $M_p=\max(0,u_1,\dots,u_{p-1})$, avec $M_1=0$. Soit $n\in\mathbb N^*$, de division euclidienne $n=qp+r$ avec $0\le r<p$. Montrer que $u_n\le qu_p+M_p$, puis que $\frac{u_n}n\le\frac{u_p}p+\frac{M_p}n$.
4. Montrer que $\frac{u_n}n\to\ell$.
5. Vérifier que $u_n=\sqrt n$ définit une suite sous-additive. Que vaut $\ell$ ? Est-ce un minimum ?
6. Soit $(a_n)_{n\ge1}$ une suite de réels supérieurs ou égaux à $1$ telle que $a_{m+n}\le a_ma_n$ pour tous $m,n\ge1$. Montrer que $\left(a_n^{1/n}\right)$ converge.