Caractérisation séquentielle de la borne supérieure : énoncé (MPSI)
Caractérisation séquentielle de la borne supérieure
Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb R$ et $M\in\mathbb R$. Alors $M=\sup A$ si et seulement si :
- $M$ est un majorant de $A$ ;
- il existe une suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ qui converge vers $M$.
De même, $m=\inf A$ si et seulement si $m$ est un minorant de $A$ et il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $m$.
Démonstration : Caractérisation séquentielle de la borne supérieure
Preuve
Sens direct. Supposons $M=\sup A$. Alors $M$ majore $A$. Pour $n\in\mathbb N$, le réel $M-\frac1{n+1}$ est strictement inférieur à $M$, donc ce n'est pas un majorant de $A$ : il existe $a_n\in A$ tel que $$M-\frac1{n+1}<a_n\le M.$$ Par encadrement, $a_n\to M$.
Réciproque. Supposons que $M$ majore $A$ et que $a_n\to M$ avec $a_n\in A$. Soit $M'$ un majorant quelconque de $A$. Pour tout $n$, $a_n\le M'$ ; par passage à la limite, $M\le M'$. Ainsi $M$ est un majorant inférieur ou égal à tous les majorants : c'est le plus petit, donc $M=\sup A$.
Le cas de la borne inférieure s'obtient en appliquant ce résultat à $-A=\{-a,\ a\in A\}$.
S’entraîner
- Bornes supérieure et inférieure par des suites
- Densité des dyadiques et équation fonctionnelle
- Suites sous-additives, lemme de Fekete (type Mines-Ponts)
Dans le cours
Suites réelles : convergence : Caractérisation séquentielle de la borne supérieure