Caractérisation séquentielle de la densitéEncadrement avec la partie entièreCaractérisation séquentielle de la continuité
On note $\mathcal D=\left\{\frac k{2^n},\ k\in\mathbb Z,\ n\in\mathbb N\right\}$ l'ensemble des nombres dyadiques.
- Soit $x\in\mathbb R$. Pour $n\in\mathbb N$, on pose $d_n=\frac{\lfloor2^nx\rfloor}{2^n}$. Montrer que $d_n\in\mathcal D$ et que $d_n\to x$. Que peut-on en déduire pour $\mathcal D$ ?
- Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue telle que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tous réels $x,y$. On pose $a=f(1)$. (a) Montrer que $f(0)=0$ et $f(-x)=-f(x)$ pour tout réel $x$. (b) Montrer que $f(kx)=kf(x)$ pour tout $k\in\mathbb Z$ et tout $x\in\mathbb R$. (c) Montrer que $f(d)=ad$ pour tout $d\in\mathcal D$. (d) En déduire que $f(x)=ax$ pour tout $x\in\mathbb R$.
Indice 1
Encadrer $\lfloor2^nx\rfloor$ puis diviser par $2^n$.
Indice 2
Pour (a), prendre $x=y=0$, puis $y=-x$.
Indice 3
Pour (b), récurrence sur $k\in\mathbb N$, puis utiliser (a) pour $k<0$.
Indice 4
Pour (c), appliquer (b) avec $x=\frac1{2^n}$ et $k=2^n$.
Indice 5
Pour (d), combiner la question 1 et la continuité de $f$ (caractérisation séquentielle, admise dans ce chapitre).
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