Prépa, 1re année › Suites réelles : convergence › Lemme sur les extractions
Lemme sur les extractions : énoncé (MPSI)
Propriété
Lemme sur les extractions
Si $\varphi:\mathbb N\to\mathbb N$ est strictement croissante, alors $\varphi(n)\ge n$ pour tout $n\in\mathbb N$.
Démonstration : Lemme sur les extractions
Démonstration
Preuve
Par récurrence. On a $\varphi(0)\ge0$ car $\varphi(0)\in\mathbb N$. Si $\varphi(n)\ge n$, alors $\varphi(n+1)>\varphi(n)\ge n$ ; comme $\varphi(n+1)$ est un entier strictement supérieur à $n$, on a $\varphi(n+1)\ge n+1$.
S’entraîner
- Prouver une divergence avec des suites extraites
- Suite bornée n'ayant qu'une seule limite possible pour ses extraites
- Suites sous-additives, lemme de Fekete (type Mines-Ponts)