Exercice corrigé : Suite bornée n'ayant qu'une seule limite possible pour ses extraites

Soit $(u_n)$ une suite réelle bornée et $\ell\in\mathbb R$. On suppose que toute suite extraite de $(u_n)$ qui converge a pour limite $\ell$. Le but est de montrer que $u_n\to\ell$.

1. Écrire avec des quantificateurs la négation de « $u_n\to\ell$ ».
2. On suppose que $(u_n)$ ne tend pas vers $\ell$. Construire un réel $\varepsilon>0$ et une extraction $\varphi$ tels que $|u_{\varphi(k)}-\ell|>\varepsilon$ pour tout $k\in\mathbb N$.
3. Conclure à l'aide du théorème de Bolzano-Weierstrass.
4. On pose $u_n=n$ si $n$ est pair et $u_n=0$ si $n$ est impair. Montrer que toute suite extraite convergente de $(u_n)$ tend vers $0$, mais que $(u_n)$ diverge. Quelle hypothèse est en défaut ?