Rangs pairs et rangs impairs : énoncé (MPSI)
Rangs pairs et rangs impairs
Si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent toutes deux vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.
Démonstration : Rangs pairs et rangs impairs
Preuve
Soit $\varepsilon>0$. Il existe $N_1$ tel que $|u_{2k}-\ell|\le\varepsilon$ pour $k\ge N_1$, et $N_2$ tel que $|u_{2k+1}-\ell|\le\varepsilon$ pour $k\ge N_2$. Posons $N=\max(2N_1,\,2N_2+1)$ et soit $n\ge N$.
- Si $n=2k$ est pair, alors $2k\ge2N_1$, donc $k\ge N_1$ et $|u_n-\ell|\le\varepsilon$.
- Si $n=2k+1$ est impair, alors $2k+1\ge2N_2+1$, donc $k\ge N_2$ et $|u_n-\ell|\le\varepsilon$.
Donc $u_n\to\ell$. Le résultat tient parce que les rangs pairs et impairs recouvrent tout $\mathbb N$.
La série harmonique diverge
Soit $H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k$ pour $n\ge1$. La suite est croissante car $H_{n+1}-H_n=\frac1{n+1}>0$. Pour $n\ge1$ : $$H_{2n}-H_n=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k\ge\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1{2n}=n\cdot\frac1{2n}=\frac12.$$ Si $(H_n)$ convergeait vers $\ell$, la suite extraite $(H_{2n})$ convergerait aussi vers $\ell$, donc $H_{2n}-H_n\to0$. Le passage à la limite dans $H_{2n}-H_n\ge\frac12$ donnerait $0\ge\frac12$, ce qui est absurde. La suite $(H_n)$ diverge ; comme elle est croissante, le théorème de la limite monotone impose $H_n\to+\infty$.
S’entraîner
- Suites adjacentes et somme alternée
- Suite récurrente, fonction décroissante
- Trois suites extraites qui se recouvrent
- Théorème de Cesàro et application à une suite récurrente