Prépa, 1re année › Suites réelles : convergence › Prouver qu'une suite diverge
Prouver qu'une suite diverge : méthode (MPSI)
Méthode
Prouver qu'une suite diverge
Par contraposée du théorème précédent, il suffit de trouver :
- soit deux suites extraites qui ont des limites différentes ;
- soit une suite extraite qui diverge.
Les extractions de rangs pairs et impairs suffisent souvent pour les suites contenant $(-1)^n$ ; pour $\cos\left(\frac{n\pi}{3}\right)$ et ses analogues, on extrait selon les restes modulo la période.
Exemple
Une suite bornée divergente
Soit $u_n=(-1)^n\frac{n}{n+1}$. On a $$u_{2n}=\frac{2n}{2n+1}\to1\qquad\text{et}\qquad u_{2n+1}=-\frac{2n+1}{2n+2}\to-1.$$ Deux suites extraites ont des limites différentes : $(u_n)$ diverge, bien qu'elle soit bornée par $1$. Le même argument appliqué à $u_{2n}=1$ et $u_{2n+1}=-1$ montre que $((-1)^n)$ diverge.
S’entraîner
- Prouver une divergence avec des suites extraites
- Suite récurrente, fonction croissante, discussion selon u0
- Suite récurrente, fonction décroissante
- Trois suites extraites qui se recouvrent
- Théorème de Cesàro et application à une suite récurrente