Prépa, 1re année › Variables aléatoires sur un univers fini › Écart entre fréquence et probabilité
Écart entre fréquence et probabilité : énoncé (MPSI)
Propriété
Écart entre fréquence et probabilité
Soit $S_n\sim\mathcal B(n,p)$ le nombre de succès en $n$ épreuves indépendantes, et $F_n=\frac{S_n}n$ la fréquence de succès. Pour tout $\varepsilon>0$, $$P\big(|F_n-p|\geqslant\varepsilon\big)\leqslant\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\leqslant\frac1{4n\varepsilon^2}.$$
Démonstration : Écart entre fréquence et probabilité
Démonstration
On a $E(F_n)=\frac{np}n=p$ et $V(F_n)=\frac1{n^2}V(S_n)=\frac{p(1-p)}n$. Bienaymé-Tchebychev appliquée à $F_n$ donne la première inégalité. La seconde vient de $p(1-p)\leqslant\frac14$ pour $p\in[0,1]$, car $\frac14-p(1-p)=\big(p-\frac12\big)^2\geqslant0$.
S’entraîner
- Tirs sur une cible
- Un dé, puis des pièces
- Taille d'un échantillon de sondage
- Œufs et poussins (type CCINP)
Dans le cours
Variables aléatoires sur un univers fini : Écart entre fréquence et probabilité