Un tireur atteint une cible avec probabilité $0{,}3$ à chaque tir. Il tire $5$ fois, les tirs étant indépendants. On note $X$ le nombre de tirs réussis.
- Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
- Calculer $P(X=2)$ et $P(X\geqslant1)$.
- Donner $E(X)$ et $V(X)$.
- Chaque tir réussi rapporte $10$ points, chaque tir manqué en fait perdre $2$. On note $G$ le score final. Exprimer $G$ en fonction de $X$, puis calculer $E(G)$, $V(G)$ et $P(G>0)$.
Suivre les trois points de la méthode « Reconnaître une loi binomiale ».
Pour $P(X\geqslant1)$, passer à l'événement contraire.
Le nombre de tirs manqués est $5-X$ ; ensuite $E(aX+b)=aE(X)+b$ et $V(aX+b)=a^2V(X)$.
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On répète $5$ épreuves à deux issues (cible atteinte ou non). Les tirs sont indépendants et la probabilité de succès vaut $0{,}3$ à chaque tir. $X$ compte le nombre de succès, donc $X\sim\mathcal B(5\,;0{,}3)$.
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$P(X=2)=\binom52(0{,}3)^2(0{,}7)^3=10\times0{,}09\times0{,}343=0{,}3087$.
L'événement contraire de $(X\geqslant1)$ est $(X=0)$, donc $$P(X\geqslant1)=1-(0{,}7)^5=1-0{,}16807=0{,}83193.$$
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$E(X)=5\times0{,}3=1{,}5$ et $V(X)=5\times0{,}3\times0{,}7=1{,}05$.
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Il y a $X$ tirs réussis et $5-X$ tirs manqués, donc $G=10X-2(5-X)=12X-10$. Par linéarité, $E(G)=12\times1{,}5-10=8$. Par l'effet d'une transformation affine, $V(G)=12^2\times1{,}05=151{,}2$.
Enfin $G>0\iff 12X>10\iff X>\frac56\iff X\geqslant1$ car $X$ est à valeurs entières. Donc $P(G>0)=0{,}83193$.
$X\sim\mathcal B(5\,;0{,}3)$ ; $P(X=2)=0{,}3087$ ; $P(X\geqslant1)=0{,}83193$ ; $E(X)=1{,}5$, $V(X)=1{,}05$ ; $G=12X-10$, $E(G)=8$, $V(G)=151{,}2$, $P(G>0)=0{,}83193$