Prépa, 1re année › Variables aléatoires sur un univers fini › Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : énoncé (MPSI)
Théorème
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit $X$ une variable aléatoire réelle et $a>0$. Alors $$P\big(|X-E(X)|\geqslant a\big)\leqslant\frac{V(X)}{a^2}.$$
Démonstration : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Démonstration
La variable $Y=\big(X-E(X)\big)^2$ est positive, d'espérance $V(X)$. Comme $a>0$, on a l'égalité d'événements $\big(|X-E(X)|\geqslant a\big)=\big(Y\geqslant a^2\big)$. L'inégalité de Markov appliquée à $Y$ et $a^2>0$ donne $$P\big(|X-E(X)|\geqslant a\big)=P(Y\geqslant a^2)\leqslant\frac{E(Y)}{a^2}=\frac{V(X)}{a^2}.$$
Exemple
Points fixes
Pour le nombre $X$ de points fixes d'une permutation uniforme ($n\geqslant2$), $E(X)=1$ et $V(X)=1$.
- Markov ($X\geqslant0$) : $P(X\geqslant3)\leqslant\frac13$.
- Bienaymé-Tchebychev : comme $X\geqslant0$, $|X-1|\geqslant3$ équivaut à $X\geqslant4$, donc $P(X\geqslant4)\leqslant\frac19$.
S’entraîner
- Affluence dans un magasin
- Taille d'un échantillon de sondage
- Variance d'une variable bornée
- Records d'une permutation aléatoire (type Mines-Ponts)
Dans le cours
Variables aléatoires sur un univers fini : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Voir aussi en Terminale spé : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev