Prépa, 1re année › Variables aléatoires sur un univers fini › Inégalité de Markov
Inégalité de Markov : énoncé (MPSI)
Théorème
Inégalité de Markov
Soit $X$ une variable aléatoire réelle positive et $a>0$. Alors $$P(X\geqslant a)\leqslant\frac{E(X)}{a}.$$
Démonstration : Inégalité de Markov
Démonstration
Montrons l'inégalité $a\,\mathbf 1_{(X\geqslant a)}\leqslant X$ point par point. Si $X(\omega)\geqslant a$, le membre de gauche vaut $a\leqslant X(\omega)$. Sinon, il vaut $0\leqslant X(\omega)$ car $X$ est positive.
Par croissance et linéarité de l'espérance, $a\,P(X\geqslant a)=E\big(a\mathbf 1_{(X\geqslant a)}\big)\leqslant E(X)$, puis on divise par $a>0$.
S’entraîner
- Affluence dans un magasin
- Taille d'un échantillon de sondage
- Variance d'une variable bornée
- Records d'une permutation aléatoire (type Mines-Ponts)
Dans le cours
Variables aléatoires sur un univers fini : Inégalité de Markov