Inégalité de Bienaymé-TchebychevÉcart entre fréquence et probabilité
Dans une population, une proportion inconnue $p\in[0,1]$ de personnes utilise un certain produit. On interroge $n$ personnes ; on modélise les réponses par $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ et on note $F_n$ la fréquence de réponses positives.
- Déterminer un entier $n$ garantissant $P(|F_n-p|\geqslant0{,}02)\leqslant0{,}05$, quelle que soit la valeur de $p$.
- Une étude antérieure assure que $p\leqslant0{,}2$. Déterminer un entier $n$ plus petit offrant la même garantie.
- Avec la valeur de $n$ trouvée en 1, l'enquête donne une fréquence observée $f=0{,}31$. Que peut-on affirmer ?
Indice 1
Partir de $P(|F_n-p|\geqslant\varepsilon)\leqslant\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$.
Indice 2
Sans information sur $p$, majorer $p(1-p)$ par $\frac14$.
Indice 3
La fonction $p\mapsto p(1-p)$ est croissante sur $[0,\frac12]$.
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