On lance un dé équilibré ; on note $X$ le résultat. On lance ensuite $X$ pièces équilibrées, de façon indépendante, et on note $Y$ le nombre de piles obtenus.
- Pour $k\in[\![1,6]\!]$, donner la loi conditionnelle de $Y$ sachant $(X=k)$. Quelles sont les valeurs possibles de $Y$ ?
- Calculer $P(Y=0)$ et $P(Y=6)$.
- On constate qu'aucun pile n'est obtenu. Quelle est la probabilité que le dé ait donné $6$ ?
- Calculer $E(Y)$.
Sachant $(X=k)$, on répète $k$ épreuves de Bernoulli indépendantes.
Pour $P(Y=0)$, appliquer la formule des probabilités totales avec le système complet $(X=k)_{1\leqslant k\leqslant6}$ ; on obtient une somme géométrique.
Pour $E(Y)$, écrire $E(Y)=\sum_k\sum_jj\,P(X=k)P(Y=j\mid X=k)$ et reconnaître dans la somme intérieure l'espérance d'une loi binomiale.
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Sachant $(X=k)$, on lance $k$ pièces indépendantes, chacune donnant pile avec probabilité $\frac12$, et $Y$ compte les piles. La loi conditionnelle de $Y$ sachant $(X=k)$ est donc $\mathcal B(k,\frac12)$ : $$P(Y=j\mid X=k)=\binom kj\frac1{2^k},\qquad j\in[\![0,k]\!].$$ Comme $k\leqslant6$, $Y(\Omega)=[\![0,6]\!]$.
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Par la formule des probabilités totales, $$P(Y=0)=\sum_{k=1}^6P(X=k)P(Y=0\mid X=k)=\frac16\sum_{k=1}^6\frac1{2^k}=\frac16\Big(1-\frac1{64}\Big)=\frac{63}{384}=\frac{21}{128}.$$ L'événement $(Y=6)$ exige $X=6$ et six piles : $P(Y=6)=\frac16\cdot\frac1{64}=\frac1{384}$.
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Par la formule de Bayes, $$P(X=6\mid Y=0)=\frac{P(X=6)P(Y=0\mid X=6)}{P(Y=0)}=\frac{1/384}{21/128}=\frac{128}{384\times21}=\frac1{63}.$$
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Par la formule de transfert appliquée au couple $(X,Y)$ et les probabilités composées, $$E(Y)=\sum_{k=1}^6\sum_{j=0}^kj\,P(X=k,Y=j)=\sum_{k=1}^6\frac16\sum_{j=0}^kj\binom kj\frac1{2^k}.$$ La somme intérieure est l'espérance de la loi $\mathcal B(k,\frac12)$, qui vaut $\frac k2$. Donc $$E(Y)=\frac16\sum_{k=1}^6\frac k2=\frac1{12}\times21=\frac74.$$
$Y\mid(X=k)\sim\mathcal B(k,\frac12)$ ; $P(Y=0)=\frac{21}{128}$ ; $P(Y=6)=\frac1{384}$ ; $P(X=6\mid Y=0)=\frac1{63}$ ; $E(Y)=\frac74$