Soient $a<b$ deux réels et $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $[a,b]$. On note $m=E(X)$.
- Montrer que pour tout $c\in\mathbb R$, $E\big((X-c)^2\big)=V(X)+(m-c)^2$. Pour quelle valeur de $c$ la quantité $E((X-c)^2)$ est-elle minimale ?
- En déduire que $V(X)\leqslant\dfrac{(b-a)^2}4$.
- Montrer que l'égalité a lieu si et seulement si $P(X=a)=P(X=b)=\frac12$.
- Retrouver ainsi l'inégalité $p(1-p)\leqslant\frac14$ pour $p\in[0,1]$.
Écrire $X-c=(X-m)+(m-c)$ et développer ; $E(X-m)=0$.
Choisir $c=\frac{a+b}2$ et majorer $|X-c|$.
Pour le cas d'égalité : une variable positive d'espérance nulle vaut $0$ avec probabilité $1$.
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Avec $X-c=(X-m)+(m-c)$ et la linéarité de l'espérance ($m-c$ est une constante) : $$E((X-c)^2)=E((X-m)^2)+2(m-c)E(X-m)+(m-c)^2=V(X)+(m-c)^2,$$ car $E(X-m)=0$. Cette quantité est minimale, égale à $V(X)$, pour $c=m$.
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Posons $c=\frac{a+b}2$. Comme $a\leqslant X\leqslant b$, on a $|X-c|\leqslant\frac{b-a}2$, donc $(X-c)^2\leqslant\frac{(b-a)^2}4$. Par croissance de l'espérance et la question 1, $$V(X)\leqslant V(X)+(m-c)^2=E((X-c)^2)\leqslant\frac{(b-a)^2}4.$$
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Si $P(X=a)=P(X=b)=\frac12$, alors $m=\frac{a+b}2=c$ et $(X-c)^2=\frac{(b-a)^2}4$ avec probabilité $1$, donc $V(X)=\frac{(b-a)^2}4$.
Réciproquement, supposons l'égalité. Les deux inégalités de la question 2 sont alors des égalités. D'une part $(m-c)^2=0$, donc $m=\frac{a+b}2$. D'autre part la variable $W=\frac{(b-a)^2}4-(X-c)^2$ est positive et d'espérance nulle. Or $E(W)=\sum_ww\,P(W=w)$ est une somme de termes positifs : elle est nulle seulement si $P(W=w)=0$ pour tout $w>0$, c'est-à-dire $P(W=0)=1$. Ainsi $|X-c|=\frac{b-a}2$ avec probabilité $1$, soit $P(X\in\{a,b\})=1$. En notant $q=P(X=b)$, on a $m=qb+(1-q)a=\frac{a+b}2$, d'où $q(b-a)=\frac{b-a}2$ et $q=\frac12$.
- Si $X\sim\mathcal B(p)$, $X$ est à valeurs dans $[0,1]$, donc $p(1-p)=V(X)\leqslant\frac14$, avec égalité si et seulement si $p=\frac12$.
$V(X)\leqslant\frac{(b-a)^2}4$, avec égalité si et seulement si $P(X=a)=P(X=b)=\frac12$