Rédiger une intégration par parties : méthode (MP)
Rédiger une intégration par parties
Le plus sûr est de faire l'intégration par parties sur un segment $[x,y]\subset]a,b[$, puis de faire tendre $x$ vers $a$ et $y$ vers $b$, en justifiant l'existence de chaque limite. On évite ainsi d'écrire un crochet ou une intégrale qui divergent.
$\int_0^{+\infty}t^ne^{-t}\,\mathrm dt=n!$
Notons $I_n=\int_0^{+\infty}t^ne^{-t}\,\mathrm dt$ : elle converge, car $t^ne^{-t}=o\left(\frac1{t^2}\right)$ en $+\infty$. Par parties sur $[0,x]$ : $$\int_0^xt^{n+1}e^{-t}\,\mathrm dt=\left[-t^{n+1}e^{-t}\right]_0^x+(n+1)\int_0^xt^ne^{-t}\,\mathrm dt.$$ Quand $x\to+\infty$, $x^{n+1}e^{-x}\to0$, donc $I_{n+1}=(n+1)I_n$. Comme $I_0=1$, on obtient $I_n=n!$.
S’entraîner
- L'intégrale de $\frac{\sin t}t$
- Équivalents d'intégrales
- Problème : intégrales de Wallis et intégrale de Gauss
- La fonction Gamma
- L'intégrale de Fresnel $\int_0^{+\infty}\sin(t^2)\,\mathrm dt$
Dans le cours
Intégration sur un intervalle quelconque : Rédiger une intégration par parties