Pour $x\in\mathbb R$, on pose, sous réserve de convergence, $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm dt$.
- Montrer que $\Gamma(x)$ est définie si et seulement si $x>0$.
- Montrer que $\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)$ pour $x>0$. En déduire $\Gamma(n+1)$ pour $n\in\mathbb N$.
- En admettant que $\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\,\mathrm du=\frac{\sqrt\pi}2$, calculer $\Gamma\left(\frac12\right)$ puis $\Gamma\left(\frac32\right)$.
Deux bornes à étudier séparément : couper en $1$.
Pour 3, poser $t=u^2$.
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La fonction $t\mapsto t^{x-1}e^{-t}$ est continue et positive sur $]0,+\infty[$. En $0$ : $t^{x-1}e^{-t}\sim t^{x-1}=\frac1{t^{1-x}}$, intégrable sur $]0,1]$ si et seulement si $1-x<1$, soit $x>0$. En $+\infty$ : $t^2\cdot t^{x-1}e^{-t}=t^{x+1}e^{-t}\to0$, intégrable sur $[1,+\infty[$ pour tout $x$. Conclusion : $x>0$.
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Pour $0<\varepsilon<X$, par parties avec $u=t^x$, $v'=e^{-t}$ : $$\int_\varepsilon^Xt^xe^{-t}\,\mathrm dt=\left[-t^xe^{-t}\right]_\varepsilon^X+x\int_\varepsilon^Xt^{x-1}e^{-t}\,\mathrm dt.$$ Quand $\varepsilon\to0$ et $X\to+\infty$, le crochet tend vers $0$ ($x>0$), d'où $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$. Comme $\Gamma(1)=\int_0^{+\infty}e^{-t}\,\mathrm dt=1$, une récurrence donne $\Gamma(n+1)=n!$.
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Avec $t=u^2$ ($u\in]0,+\infty[$, $\mathrm dt=2u\,\mathrm du$) : $\Gamma\left(\frac12\right)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-u^2}}u\,2u\,\mathrm du=2\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\,\mathrm du=\sqrt\pi$. Puis $\Gamma\left(\frac32\right)=\frac12\Gamma\left(\frac12\right)=\frac{\sqrt\pi}2$.
$\Gamma$ définie sur $]0,+\infty[$, $\Gamma(n+1)=n!$, $\Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt\pi$, $\Gamma\left(\frac32\right)=\frac{\sqrt\pi}2$.