Changement de variable : énoncé (MP)
Changement de variable
Soit $\varphi:]\alpha,\beta[\to]a,b[$ une bijection de classe $\mathcal C^1$, strictement croissante, et $f$ continue sur $]a,b[$. Alors $\int_a^bf(t)\,\mathrm dt$ et $\int_\alpha^\beta f(\varphi(u))\,\varphi'(u)\,\mathrm du$ sont de même nature et égales en cas de convergence. Pour $\varphi$ strictement décroissante, les bornes s'échangent.
Deux changements de variable
- $\int_0^{+\infty}e^{-\sqrt t}\,\mathrm dt$ : avec $t=u^2$ ($u\in]0,+\infty[$, $\mathrm dt=2u\,\mathrm du$), elle vaut $\int_0^{+\infty}2ue^{-u}\,\mathrm du=2$.
- $\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{e^t+e^{-t}}$ : avec $u=e^t$ ($\mathrm dt=\frac{\mathrm du}u$), elle vaut $\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm du}{u^2+1}=\frac\pi2-\frac\pi4=\frac\pi4$.
La fonction Gamma
Pour $x\in\mathbb R$, $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm dt$ converge si et seulement si $x>0$ : en $0$, $t^{x-1}e^{-t}\sim t^{x-1}$, intégrable si et seulement si $1-x<1$ ; en $+\infty$, $t^{x-1}e^{-t}=o\left(\frac1{t^2}\right)$. La même intégration par parties que ci-dessus donne $\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)$, et $\Gamma(n+1)=n!$.
S’entraîner
- Quatre intégrales à étudier
- Calculs par changement de variable
- Le changement de variable $t\mapsto\frac1t$
- Intégrale de Frullani
- Problème : intégrales de Wallis et intégrale de Gauss
Dans le cours
Intégration sur un intervalle quelconque : Changement de variable