Pour $(a,b,c)\in\mathbb R^3$, on pose $$M=\begin{pmatrix}1&a&1\\0&1&b\\0&0&c\end{pmatrix}.$$
- Déterminer $\chi_M$ et le spectre de $M$.
- Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(a,b,c)$ pour que $M$ soit diagonalisable.
- On prend $a=0$, $b=1$, $c=2$. Diagonaliser $M$, déterminer $\pi_M$, puis calculer $M^k$ pour $k\in\mathbb N$.
$M$ est triangulaire.
Distinguer $c\neq1$ et $c=1$ ; dans le premier cas, seule la valeur propre double $1$ pose question : calculer $\mathrm{rg}(M-I_3)$.
Pour $M^k$, écrire le reste de la division de $X^k$ par $\pi_M$.
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$M$ est triangulaire supérieure, donc $\chi_M=(X-1)^2(X-c)$ et $\mathrm{Sp}(M)=\{1,c\}$. Ce polynôme est scindé sur $\mathbb R$.
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Cas $c\neq1$. $1$ est valeur propre double et $c$ valeur propre simple, donc $\dim E_c(M)=1=m_c$. $M$ est diagonalisable si et seulement si $\dim E_1(M)=2$, c'est-à-dire $\mathrm{rg}(M-I_3)=1$, avec $$M-I_3=\begin{pmatrix}0&a&1\\0&0&b\\0&0&c-1\end{pmatrix}.$$ La troisième colonne $(1,b,c-1)$ est non nulle. Si $a=0$, les deux premières colonnes sont nulles et le rang vaut $1$. Si $a\neq0$, la deuxième colonne $(a,0,0)$ est non nulle et n'est pas colinéaire à la troisième, dont la dernière coordonnée $c-1$ est non nulle : le rang vaut $2$ et $\dim E_1(M)=1<2$.
Cas $c=1$. $\mathrm{Sp}(M)=\{1\}$. Si $M$ était diagonalisable, on aurait $\pi_M=X-1$, donc $M=I_3$ ; c'est impossible car le coefficient $(1,3)$ vaut $1$.
Conclusion : $M$ est diagonalisable si et seulement si $a=0$ et $c\neq1$ (aussi bien sur $\mathbb R$ que sur $\mathbb C$, $\chi_M$ étant scindé).
- Ici $M=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&2\end{pmatrix}$, diagonalisable par 2. $M-I_3=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}$, donc $E_1(M)$ est le plan $z=0$, de base $(1,0,0),(0,1,0)$. $M-2I_3=\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&-1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$ donne $x=z$, $y=z$, donc $E_2(M)=\mathrm{Vect}\big((1,1,1)\big)$. Avec $$P=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad D=\mathrm{diag}(1,1,2),$$ on a $\det P=1$ et $M=PDP^{-1}$ ; vérification : $M(1,0,0)=(1,0,0)$, $M(0,1,0)=(0,1,0)$, $M(1,1,1)=(2,2,2)$.
$M$ étant diagonalisable, $\pi_M=(X-1)(X-2)$. On écrit $X^k=Q_k\pi_M+\alpha_kX+\beta_k$ ; en évaluant en $1$ et $2$ : $\alpha_k+\beta_k=1$ et $2\alpha_k+\beta_k=2^k$, d'où $\alpha_k=2^k-1$ et $\beta_k=2-2^k$. Donc $M^k=(2^k-1)M+(2-2^k)I_3$, soit $$M^k=\begin{pmatrix}1&0&2^k-1\\0&1&2^k-1\\0&0&2^k\end{pmatrix}.$$ Contrôle : $k=0$ donne $I_3$, $k=1$ donne $M$ ; pour $k=2$, le calcul direct donne bien le coefficient $(1,3)$ de $M^2$ égal à $1\cdot1+0\cdot1+1\cdot2=3$.
$\chi_M=(X-1)^2(X-c)$ ; $M$ diagonalisable si et seulement si $a=0$ et $c\neq1$ ; pour $(0,1,2)$ : $\pi_M=(X-1)(X-2)$ et $M^k=\begin{pmatrix}1&0&2^k-1\\0&1&2^k-1\\0&0&2^k\end{pmatrix}$.