Soit $n\geq 3$ un entier et $\omega=e^{2i\pi/n}$. On note $J\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ la matrice de coefficients $J_{k,k+1}=1$ pour $1\leq k\leq n-1$, $J_{n,1}=1$, tous les autres coefficients étant nuls. Ainsi, pour $Z=(z_1,\dots,z_n)$, $JZ=(z_2,z_3,\dots,z_n,z_1)$. Les indices sont lus modulo $n$ ($z_{n+1}=z_1$, etc.). On note $U=(1,\dots,1)$.
Pour $c=(c_0,\dots,c_{n-1})\in\mathbb C^n$, on pose $P_c=\sum_{k=0}^{n-1}c_kX^k$ et $C(c)=P_c(J)$. Une telle matrice est dite circulante ; on note $\mathcal C$ l'ensemble des matrices circulantes.
Partie I. Réduction de $J$
- Montrer que pour tout $k\in\mathbb N$, tout $Z$ et tout $p$, $(J^kZ)_p=z_{p+k}$. En déduire que, pour $0\leq k\leq n-1$, le coefficient $(p,q)$ de $J^k$ vaut $1$ si $q\equiv p+k\ [n]$ et $0$ sinon, puis que $J^n=I_n$ et que la famille $(I_n,J,\dots,J^{n-1})$ est libre.
- Déterminer $\pi_J$ et $\chi_J$.
- Pour $j\in\{0,\dots,n-1\}$, on pose $v_j=(1,\omega^j,\omega^{2j},\dots,\omega^{(n-1)j})$. Calculer $Jv_j$. En déduire que $J$ est diagonalisable et préciser ses sous-espaces propres.
Partie II. Matrices circulantes
- Montrer que le coefficient $(p,q)$ de $C(c)$ vaut $c_r$, où $r$ est l'unique élément de $\{0,\dots,n-1\}$ tel que $r\equiv q-p\ [n]$. Écrire $C(c)$ pour $n=3$.
- Montrer que $\mathcal C=\mathbb C[J]$, que $\mathcal C$ est égal au commutant de $J$, et que $\dim\mathcal C=n$.
- Montrer qu'il existe $V\in\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$, indépendante de $c$, telle que $V^{-1}C(c)V$ soit diagonale pour tout $c$. En déduire $\det C(c)=\prod_{j=0}^{n-1}P_c(\omega^j)$.
- Pour $a,b\in\mathbb C$, montrer que $\det(aI_n+bJ)=a^n-(-b)^n$.
Partie III. Polygone des milieux
Soit $z_1^{(0)},\dots,z_n^{(0)}\in\mathbb C$, affixes des sommets d'un polygone. On définit par récurrence $z_k^{(m+1)}=\frac12\big(z_k^{(m)}+z_{k+1}^{(m)}\big)$ (indices modulo $n$) et l'on note $Z^{(m)}=(z_1^{(m)},\dots,z_n^{(m)})$ et $g=\frac1n\sum_{k=1}^nz_k^{(0)}$.
- Montrer que $Z^{(m)}=M^mZ^{(0)}$ avec $M=\frac12(I_n+J)$. Déterminer des valeurs propres $\mu_0,\dots,\mu_{n-1}$ de $M$ associées aux $v_j$, et montrer que $\mu_0=1$ et $|\mu_j|<1$ pour $1\leq j\leq n-1$.
- On décompose $Z^{(0)}=\sum_{j=0}^{n-1}\alpha_jv_j$. Montrer que $\alpha_0=g$.
- Montrer que $Z^{(m)}$ converge vers $gU$ quand $m\to+\infty$, et interpréter.
Question 1 : raisonner par récurrence en écrivant $J^{k+1}Z=J^k(JZ)$ ; le coefficient $(p,q)$ d'une matrice $B$ est la $p$-ème coordonnée de $Be_q$.
Question 2 : un annulateur non nul de degré au plus $n-1$ contredirait la liberté obtenue en 1.
Question 5 : diviser un polynôme quelconque par $X^n-1$ ; pour le commutant, utiliser le résultat du cours sur les endomorphismes à $n$ valeurs propres distinctes.
Question 9 : appliquer aux deux membres la forme linéaire « somme des coordonnées » et calculer la somme des coordonnées de chaque $v_j$.
Partie I.
- Récurrence sur $k$. Pour $k=0$, c'est clair. Supposons $(J^kZ)_p=z_{p+k}$ pour tout $Z$ et tout $p$. Soit $W=JZ$, de coordonnées $w_p=z_{p+1}$. Alors $(J^{k+1}Z)_p=(J^kW)_p=w_{p+k}=z_{p+k+1}$.
Le coefficient $(p,q)$ de $J^k$ est la $p$-ème coordonnée de $J^ke_q$, c'est-à-dire $(e_q)_{p+k}$ : il vaut $1$ si $p+k\equiv q\ [n]$ et $0$ sinon. Pour $k=n$, $(J^nZ)_p=z_{p+n}=z_p$ pour tout $Z$, donc $J^n=I_n$.
Liberté : soit $\sum_{k=0}^{n-1}a_kJ^k=0$. Pour $k_0\in\{0,\dots,n-1\}$, regardons le coefficient $(1,k_0+1)$. Parmi $0,\dots,n-1$, seul $k=k_0$ vérifie $k_0+1\equiv 1+k\ [n]$, donc ce coefficient vaut $a_{k_0}$. D'où $a_{k_0}=0$ pour tout $k_0$.
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$X^n-1$ annule $J$, donc $\pi_J$ divise $X^n-1$. Un annulateur non nul de degré $\leq n-1$ donnerait une relation de liaison non triviale entre $I_n,J,\dots,J^{n-1}$, exclue par 1. Donc $\deg\pi_J\geq n$ ; unitaire et divisant $X^n-1$, $\pi_J=X^n-1$. Par Cayley-Hamilton, $\pi_J$ divise $\chi_J$, unitaire de degré $n$ : $\chi_J=X^n-1$.
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La $p$-ème coordonnée de $v_j$ est $\omega^{(p-1)j}$. Pour $1\leq p\leq n-1$, $(Jv_j)_p=(v_j)_{p+1}=\omega^{pj}=\omega^j\,\omega^{(p-1)j}$ ; et $(Jv_j)_n=(v_j)_1=1=\omega^{nj}=\omega^j\,\omega^{(n-1)j}$. Donc $Jv_j=\omega^jv_j$, avec $v_j\neq0$ (première coordonnée égale à $1$). Les $n$ complexes $\omega^j$, $0\leq j\leq n-1$, sont deux à deux distincts : $J$ admet $n$ valeurs propres distinctes, elle est donc diagonalisable, chaque sous-espace propre est une droite et $E_{\omega^j}(J)=\mathrm{Vect}(v_j)$. On retrouve $\chi_J=\prod_{j=0}^{n-1}(X-\omega^j)=X^n-1$.
Partie II.
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Par linéarité, le coefficient $(p,q)$ de $C(c)=\sum_kc_kJ^k$ vaut $\sum_kc_k(J^k)_{p,q}$. D'après 1, seul le terme $k=r$ est non nul, et il vaut $c_r$. Chaque ligne se déduit de la précédente par un décalage circulaire d'un cran vers la droite. Pour $n=3$ : $$C(c)=\begin{pmatrix}c_0&c_1&c_2\\c_2&c_0&c_1\\c_1&c_2&c_0\end{pmatrix}.$$
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Par définition $\mathcal C\subset\mathbb C[J]$. Réciproquement, soit $P\in\mathbb C[X]$ ; la division euclidienne $P=Q\,(X^n-1)+R$ avec $\deg R\leq n-1$ donne $P(J)=R(J)$ puisque $J^n=I_n$, et $R(J)=C(c)$ où $c$ est la suite des coefficients de $R$. Donc $\mathcal C=\mathbb C[J]$. D'après le cours, $\dim\mathbb C[J]=\deg\pi_J=n$, de base $(I_n,J,\dots,J^{n-1})$. Enfin $J$ admet $n$ valeurs propres distinctes : son commutant est $\mathbb C[J]$, c'est-à-dire $\mathcal C$.
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Soit $V$ la matrice de colonnes $v_0,\dots,v_{n-1}$. Ses colonnes sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, donc forment une famille libre : $V\in\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$. Pour tout polynôme $P$, $P(J)v_j=P(\omega^j)v_j$ (cours). Donc $C(c)v_j=P_c(\omega^j)v_j$ pour tout $j$, ce qui s'écrit $$V^{-1}C(c)V=\mathrm{diag}\big(P_c(1),P_c(\omega),\dots,P_c(\omega^{n-1})\big).$$ Le déterminant étant invariant par similitude, $\det C(c)=\prod_{j=0}^{n-1}P_c(\omega^j)$.
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Ici $P_c=a+bX$, donc $\det(aI_n+bJ)=\prod_{j=0}^{n-1}(a+b\omega^j)$. Si $b=0$, on obtient $a^n=a^n-(-0)^n$. Si $b\neq0$, on évalue l'égalité $X^n-1=\prod_{j=0}^{n-1}(X-\omega^j)$ en $-a/b$ : $\prod_j\big(-\frac ab-\omega^j\big)=\big(-\frac ab\big)^n-1$. Comme $(-b)\big(-\frac ab-\omega^j\big)=a+b\omega^j$, on multiplie par $(-b)^n$ : $$\det(aI_n+bJ)=(-b)^n\Big(\Big(-\frac ab\Big)^n-1\Big)=a^n-(-b)^n.$$ Contrôle pour $n=3$, $a=b=1$ : la formule donne $2$, et en développant $\det\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot(0-1)=2$.
Partie III.
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Par définition, $z_k^{(m+1)}=\frac12\big(z_k^{(m)}+(JZ^{(m)})_k\big)$, donc $Z^{(m+1)}=MZ^{(m)}$, et par récurrence $Z^{(m)}=M^mZ^{(0)}$. On a $M=P(J)$ avec $P=\frac12(1+X)$, donc $Mv_j=\mu_jv_j$ avec $\mu_j=\frac{1+\omega^j}2$ ; comme $(v_j)$ est une base, $V^{-1}MV=\mathrm{diag}(\mu_0,\dots,\mu_{n-1})$ et ce sont toutes les valeurs propres. Pour $\theta\in\mathbb R$, $1+e^{i\theta}=e^{i\theta/2}\big(e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2}\big)=2\cos(\theta/2)\,e^{i\theta/2}$, d'où $|\mu_j|=|\cos(\pi j/n)|$. On a $\mu_0=1$, et pour $1\leq j\leq n-1$, $\pi j/n\in\,]0,\pi[$, donc $|\cos(\pi j/n)|<1$.
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Soit $\sigma:Z\mapsto\sum_{k=1}^nz_k$, forme linéaire. Pour $j\neq0$, $\omega^j\neq1$ et $\sigma(v_j)=\sum_{k=0}^{n-1}(\omega^j)^k=\frac{1-\omega^{jn}}{1-\omega^j}=0$ ; et $\sigma(v_0)=n$. En appliquant $\sigma$ à la décomposition de $Z^{(0)}$ : $\sum_kz_k^{(0)}=n\alpha_0$, donc $\alpha_0=g$.
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Comme $v_0=U$ et $\mu_0=1$, $$Z^{(m)}=M^m\sum_{j=0}^{n-1}\alpha_jv_j=\sum_{j=0}^{n-1}\alpha_j\mu_j^mv_j=gU+\sum_{j=1}^{n-1}\alpha_j\mu_j^mv_j.$$ Pour $j\geq1$, $|\mu_j|<1$, donc $\mu_j^m\to0$. Chaque coordonnée de $Z^{(m)}$ est une combinaison linéaire finie, à coefficients fixes, de ces suites : $Z^{(m)}\to gU$. Interprétation : les polygones des milieux successifs se contractent vers le point d'affixe $g$, isobarycentre du polygone initial ; cet isobarycentre est d'ailleurs conservé à chaque étape, car $\sigma(MZ)=\sigma(Z)$.
$\pi_J=\chi_J=X^n-1$, $Jv_j=\omega^jv_j$ ; $\mathcal C=\mathbb C[J]$ est le commutant de $J$, de dimension $n$ ; $\det C(c)=\prod_jP_c(\omega^j)$, $\det(aI_n+bJ)=a^n-(-b)^n$ ; $Z^{(m)}\to gU$ (convergence vers l'isobarycentre).