Coefficients remarquables : énoncé (MP)
Coefficients remarquables
$\chi_A$ est unitaire de degré $n$ et $$\chi_A=X^n-\mathrm{tr}(A)X^{n-1}+\cdots+(-1)^n\det A.$$ Pour $n=2$ : $\chi_A=X^2-\mathrm{tr}(A)X+\det A$. Si $A$ est triangulaire, $\chi_A=\prod_{i=1}^n(X-a_{ii})$. Enfin $\chi_{A^\top}=\chi_A$.
Démonstration : Coefficients remarquables
Preuve
Notons $M=XI_n-A=(m_{ij})$, avec $m_{ii}=X-a_{ii}$ et $m_{ij}=-a_{ij}$ si $i\neq j$. Dans $\det M=\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\varepsilon(\sigma)\prod_{i=1}^nm_{\sigma(i)i}$, chaque terme est de degré au plus égal au nombre de points fixes de $\sigma$. Si $\sigma\neq\mathrm{id}$, $\sigma$ a au plus $n-2$ points fixes (si elle déplace $i$, elle déplace aussi $\sigma(i)$). Les termes de degrés $n$ et $n-1$ proviennent donc du seul produit $\prod_{i=1}^n(X-a_{ii})=X^n-(a_{11}+\cdots+a_{nn})X^{n-1}+\cdots$. Le coefficient constant est $\chi_A(0)=\det(-A)=(-1)^n\det A$. Le cas triangulaire vient du déterminant d'une matrice triangulaire, et $\chi_{A^\top}=\det\big((XI_n-A)^\top\big)=\chi_A$.