Prépa, 2e année › Réduction des endomorphismes › Polynôme caractéristique
Polynôme caractéristique : définition (MP)
Définition
Polynôme caractéristique
Pour $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, le polynôme caractéristique de $A$ est $$\chi_A=\det(XI_n-A)\in\mathbb K[X].$$ Si $B=S^{-1}AS$, alors $XI_n-B=S^{-1}(XI_n-A)S$, donc $\chi_B=\chi_A$. On pose $\chi_u=\chi_{\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u)}$, qui ne dépend pas de la base $\mathcal B$ de $E$.
S’entraîner
- Éléments propres et diagonalisation d'une matrice 3×3
- Une matrice de permutation
- Une suite récurrente linéaire d'ordre 3
- Endomorphisme annulé par X³ − 4X
- Endomorphismes nilpotents : inverse, déterminant, forme réduite