Prépa, 2e année › Réduction des endomorphismes › Déterminer les éléments propres d'une matrice
Déterminer les éléments propres d'une matrice : méthode (MP)
Méthode
Déterminer les éléments propres d'une matrice
- Calculer $\chi_A=\det(XI_n-A)$ en faisant apparaître des facteurs (opérations sur lignes et colonnes, développement selon une ligne creuse) plutôt qu'en développant tout.
- Contrôler avec la trace et le déterminant (coefficient de $X^{n-1}$ et coefficient constant).
- Factoriser : les racines dans $\mathbb K$ forment $\mathrm{Sp}(A)$, avec leurs multiplicités.
- Pour chaque $\lambda$, résoudre $(A-\lambda I_n)X=0$ ; on a $\dim E_\lambda(A)=n-\mathrm{rg}(A-\lambda I_n)$.
- Vérifier chaque vecteur propre trouvé en calculant $AX$.
S’entraîner
- Éléments propres et diagonalisation d'une matrice 3×3
- Une matrice de permutation
- Trigonalisation et puissances d'une matrice 2×2
- Une suite récurrente linéaire d'ordre 3
- Diagonalisabilité d'une famille de matrices triangulaires
Dans le cours
Réduction des endomorphismes : Déterminer les éléments propres d'une matrice