Prépa, 2e année › Réduction des endomorphismes › Valeurs propres et polynôme caractéristique
Valeurs propres et polynôme caractéristique : énoncé (MP)
Théorème
Valeurs propres et polynôme caractéristique
Les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines de $\chi_u$ dans $\mathbb K$. En particulier, si $\mathbb K=\mathbb C$, $\mathrm{Sp}(u)\neq\varnothing$.
Démonstration : Valeurs propres et polynôme caractéristique
Démonstration
Preuve
Soit $A$ une matrice de $u$ et $\lambda\in\mathbb K$ : $\lambda\in\mathrm{Sp}(u)\iff\lambda I_n-A$ non inversible $\iff\det(\lambda I_n-A)=0\iff\chi_A(\lambda)=0$. Sur $\mathbb C$, $\chi_u$ est de degré $n\geq 1$, donc admet une racine par le théorème de d'Alembert-Gauss.
S’entraîner
- Éléments propres et diagonalisation d'une matrice 3×3
- Une matrice de permutation
- Une suite récurrente linéaire d'ordre 3
- Endomorphisme annulé par X³ − 4X
- Endomorphismes nilpotents : inverse, déterminant, forme réduite
Dans le cours
Réduction des endomorphismes : Valeurs propres et polynôme caractéristique