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Prépa, 2e année › Réduction des endomorphismes › Endomorphisme induit, encadrement des dimensions

Endomorphisme induit, encadrement des dimensions : énoncé (MP)

Propriété

Endomorphisme induit, encadrement des dimensions

  1. Si $F$ est un sous-espace stable par $u$, alors $\chi_{u_F}$ divise $\chi_u$.
  2. Pour toute valeur propre $\lambda$ de $u$ : $1\leq\dim E_\lambda(u)\leq m_\lambda$. En particulier, si $m_\lambda=1$, alors $\dim E_\lambda(u)=1$.
Démonstration : Endomorphisme induit, encadrement des dimensions
Démonstration

Preuve

  1. Dans une base de $F$ complétée en une base de $E$, $\mathrm{Mat}(u)=\begin{pmatrix}A&B\\0&C\end{pmatrix}$ avec $A=\mathrm{Mat}(u_F)$ de taille $p$. Alors $XI_n-\mathrm{Mat}(u)=\begin{pmatrix}XI_p-A&-B\\0&XI_{n-p}-C\end{pmatrix}$ est triangulaire par blocs, donc $\chi_u=\chi_A\,\chi_C=\chi_{u_F}\,\chi_C$.

  2. $E_\lambda(u)\neq\{0\}$, donc $d=\dim E_\lambda(u)\geq 1$. $E_\lambda(u)$ est stable par $u$ et $u$ y induit $\lambda\mathrm{Id}$, de polynôme caractéristique $(X-\lambda)^d$. Par 1, $(X-\lambda)^d$ divise $\chi_u$, donc $d\leq m_\lambda$.

Exemple

Un calcul complet

Soit $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}=I_3+J$. Dans $\det(XI_3-A)$, on ajoute les deuxième et troisième colonnes à la première, puis on factorise $X-4$ : $$\chi_A=\det\begin{pmatrix}X-2&-1&-1\\-1&X-2&-1\\-1&-1&X-2\end{pmatrix}=(X-4)\det\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&X-2&-1\\1&-1&X-2\end{pmatrix}.$$ En retranchant la première ligne aux deux autres, la dernière matrice devient $\begin{pmatrix}1&-1&-1\\0&X-1&0\\0&0&X-1\end{pmatrix}$, d'où $\chi_A=(X-4)(X-1)^2$. Contrôle : $\mathrm{tr}(A)=6=4+1+1$ et $\det A=4=4\times1\times1$.

  • $E_1(A)=\mathrm{Ker}(A-I_3)=\mathrm{Ker}\,J$ : le système se réduit à $x+y+z=0$, donc $E_1(A)=\mathrm{Vect}\big((1,-1,0),(1,0,-1)\big)$, de dimension $2=m_1$.
  • $m_4=1$, donc $\dim E_4(A)=1$ ; comme $A(1,1,1)=(4,4,4)$, $E_4(A)=\mathrm{Vect}\big((1,1,1)\big)$.
Exemple

Multiplicités différentes

Pour $T=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ : $\chi_T=(X-1)^2$, donc $m_1=2$. Mais $T-I_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ est de rang $1$, donc $\dim E_1(T)=1<m_1$.

S’entraîner

Dans le cours

Réduction des endomorphismes : Endomorphisme induit, encadrement des dimensions