Exercice 18 · Codiagonalisation et non-isomorphie des groupes linéaires
PremiumConcoursClassique d'oral, style X-ENS●●●Démontrer la codiagonalisation d'une famille quelconque d'endomorphismes diagonalisables qui commutentUtiliser la stabilité des sous-espaces propres par un endomorphisme qui commuteDiagonaliser un endomorphisme induitTransférer un résultat de réduction en un invariant de théorie des groupes
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq1$.
- Soit $(u_i)_{i\in I}$ une famille (éventuellement infinie) d'endomorphismes diagonalisables de $E$ commutant deux à deux. Montrer qu'il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres communs à tous les $u_i$.
- Soit $G$ un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$ tel que $g^2=I_n$ pour tout $g\in G$. Montrer que $G$ est commutatif, puis que $G$ est fini de cardinal au plus $2^n$.
- Soit $m\neq n$ deux entiers naturels non nuls. Montrer que les groupes $\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$ et $\mathrm{GL}_m(\mathbb C)$ ne sont pas isomorphes.
Indice 1
Pour 1, raisonner par récurrence forte sur la dimension, en distinguant le cas où tous les $u_i$ sont des homothéties.
Indice 2
Si $u_{i_0}$ n'est pas une homothétie, ses sous-espaces propres sont de dimension $<n$ et stables par tous les $u_i$.
Indice 3
Pour la commutativité, calculer $(gh)^{-1}$ de deux façons.
Indice 4
Pour 3, considérer dans $\mathrm{GL}_m(\mathbb C)$ le sous-groupe des matrices diagonales à coefficients $\pm1$.
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