Caractérisation des nilpotents : énoncé (MP)
Caractérisation des nilpotents
Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) $u$ est nilpotent ;
(ii) il existe une base dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure stricte (diagonale nulle) ;
(iii) $\chi_u=X^n$.
De plus, si $u$ est nilpotent d'indice $q$, alors $\pi_u=X^q$, $q\leq n$ et $u^n=0$.
Démonstration : Caractérisation des nilpotents
Preuve
(i)$\Rightarrow$(ii). Soit $p$ tel que $u^p=0$. Les noyaux itérés forment une suite croissante $\{0\}=\mathrm{Ker}\,u^0\subset\mathrm{Ker}\,u\subset\cdots\subset\mathrm{Ker}\,u^p=E$ (si $u^k(x)=0$, alors $u^{k+1}(x)=0$). On construit une base $(e_1,\dots,e_n)$ adaptée : une base de $\mathrm{Ker}\,u$, complétée en une base de $\mathrm{Ker}\,u^2$, etc. Soit $e_j$ un vecteur ajouté à l'étape $k+1$ : $e_j\in\mathrm{Ker}\,u^{k+1}$, donc $u^k(u(e_j))=0$ et $u(e_j)\in\mathrm{Ker}\,u^k$, engendré par des $e_i$ d'indices $i<j$. La colonne $j$ n'a donc de coefficients non nuls que sur les lignes $i<j$ : la matrice est triangulaire supérieure stricte.
(ii)$\Rightarrow$(iii). Si $T$ est triangulaire supérieure de diagonale nulle, $\chi_u=\chi_T=X^n$.
(iii)$\Rightarrow$(i). Par Cayley-Hamilton, $u^n=\chi_u(u)=0$.
Indice : $\pi_u$ divise $X^q$, donc $\pi_u=X^k$ avec $k\leq q$ ; si $k<q$, $X^{q-1}$ serait multiple de $\pi_u$, donc annulateur, ce qui est exclu. Donc $\pi_u=X^q$. Par Cayley-Hamilton, $X^q$ divise $\chi_u=X^n$, donc $q\leq n$.
Une preuve directe de q ≤ n, classique à l'oral
Si $u$ est nilpotent d'indice $q$ et si $u^{q-1}(x)\neq 0$, la famille $(x,u(x),\dots,u^{q-1}(x))$ est libre. Sinon, soit $\sum_{k=0}^{q-1}a_ku^k(x)=0$ avec des $a_k$ non tous nuls, et $j$ le plus petit indice tel que $a_j\neq 0$. En appliquant $u^{q-1-j}$, les termes d'indice $k>j$ s'annulent (exposant $\geq q$) et il reste $a_ju^{q-1}(x)=0$, contradiction. Une famille libre de $q$ vecteurs impose $q\leq n$.
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Réduction des endomorphismes : Caractérisation des nilpotents